大家好！今天让小编来大家介绍下关于高斯墓碑上的几何图案的问题，以下是小编对此问题的归纳整理，让我们一起来看看吧。
文章目录列表:
- 1、宇宙中脑子最聪明无人能及的数学家是谁？
- 2、德国一位著名的数学家，曾希望在自己的墓碑上铭刻一个正十七边形？
- 3、高斯与正十七边形的故事
- 4、德国一位著名的数学家，曾希望在自己的墓碑上铭刻一个正十七边形？
一、宇宙中脑子最聪明无人能及的数学家是谁？
高斯吧毕竟他被称为数学小王子高斯在 3 岁时便能够纠正他父亲的账目中的错误.2. 高斯在 9 岁上小学的时候，有一天老师故意布置了一道为难学生的数学题~~~~~~~~~~~~1+2+3+ cdot cdot cdot+100=~?没想到高斯一下子就给出了正确答案，是 5050 . 而且还解释了解答方法，那就是首尾相加，而现在 等差数列 的求和公式~~~~~~a_{1}+a_{2}+ cdot cdot cdot+a_{n}= frac{n(a_{1}+a_{n})}{2}.就是用高斯的这种方法推导出来的.3. 高斯在 11 岁时独立推导出了 牛顿 的 二项式定理~~~~~~~~~~~~(a+b)^n= sum_{k=0}^{n}{C_{n}^{k}} a^{n-k}b^{k}.4. 高斯在 14 岁的时候研究了下述数列：设 a geq b 0，a_{0}=a，b_{0}=b . 如下递推地定义数列 left { a_{n} right }, left { b_{n} right } ：~~~a_{n}= frac{a_{n-1}+b_{n-1}}{2},~b_{n}= sqrt{a_{n-1}b_{n-1}}.高斯证明数列了 left { a_{n} right }， left { b_{n} right } 皆收敛，且极限相等， 此极限称为 a 和 b 的 算术几何平均值，记作 AGM(a,b) . 高斯还给出了 AGM(a,b) 的表达式：AGM(a,b)= frac{ pi}{2G},~G= int_{0}^{ frac{ pi}{2}} frac{dx}{ sqrt{a^{2}{ cos}^{2}x+b^{2}{ sin}^{2}x}}.1976 年，数学家 Salamin 和 Brent 等人在此基础上发展出了一种计算圆周率 pi 的快速算法，这种算法就是目前计算圆周率最快的算法之一的 Salamin-Brent 算法：取 a=1 ， b= frac{1}{ sqrt{2}} . 则~~~~~~ pi= lim_{n rightarrow infty}{ frac{(a_{n}+b_{n})^{2}}{1-2 sum_{k=1}^{n}{2^{n}(a_{n}^{2}-b_{n}^{2})}}}.5. 1792 年，这一年高斯 15 岁. 有一天高斯偶然得到一本书，书上有一个对数表，还有一个素数表. 由于闲来无事，高斯花了将近一刻钟的时间计算了其中 1000 个，他惊讶地发现素数的分布密度接近于对数的倒数，这一发现就是就是著名的 素数定理：~~ lim_{x rightarrow infty}{ frac{ pi(x)}{Li(x)}}=1,~~Li(x)= int_{2}^{x} frac{dt}{ log t}.素数定理的数值结果6. 1796 年，高斯 19 岁，这一年是高斯的高光时刻！3 月 30 日：高斯证明了正十七边形可以尺规作图. 证明正十七边形可以尺规作图的关键是证明 cos frac{2 pi}{17} 可以用根式表达出来，高斯经过一顿巧算得到 cos frac{2 pi}{17}=- frac{1}{16}+ frac{1}{16} sqrt{17}+ frac{1}{16} sqrt{34-2 sqrt{17}}~~~~~~~~~~~~~~~~~+ frac{1}{8} sqrt{17+3 sqrt{17}- sqrt{34-2 sqrt{17}}-2 sqrt{34+2 sqrt{17}}}.正十七边形尺规作图正十七边形的尺规作图问题是一个千古难题，对于这一问题的解决高斯颇为得意，据说高斯因此决定在数学和文学之间选择将数学作为自己的终身事业，而把文学当做兴趣爱好，他还嘱咐后人将正十七边形刻在自己的墓碑上.高斯墓碑上的正十七角星单单证明正十七边形可以尺规作图还不过瘾，高斯干脆一口气把正多边形的尺规作图问题一锅端了，即得到下述结论：高斯定理：正 n 形边可以尺规作图当且仅当 n=2^kF_{m_{1}}F_{m_{2}} cdot cdot cdot F_{m_{l}} ，其中 k,l geq0 ，而 F_{m_{1}} ， F_{m_{2}} ， cdot cdot cdot ， F_{m_{l}} 为两两不同的 费马素数.可以尺规作图的正多边形4 月 8 日：高斯证明了自己奉之为瑰宝的 二次互反律：~~~~~~~~~~ left( frac{p}{q} right) cdot left ( frac{q}{p} right)=(-1)^{ frac{p-1}{2} cdot frac{q-1}{2}}.高斯对二次互反律钟爱有加，前后一共给出过 6 种不同的证法，每一种证法都包含了重要的数学思想. 后来他又发现了 四次互反律：~~~~~~~ chi_{ pi}( lambda)= chi_{ lambda}( pi) cdot(-1)^{ frac{N( pi)-1}{4} cdot frac{N( lambda)-1}{4}}.从二次互反律开始，然后发展到三次互反律和四次互反律，后面继续推广到 艾森斯坦互反律，最后拓广到称之为 类域论 理论高峰的 阿廷互反律. 由此可知二次互反律的重要性，高斯对之爱不释手也就不难理解了.7月 10 日：高斯证明了下述结论：高斯定理：每一个正整数都可以表示为不超过 3 个三角数之和.比如我们观察前面几个正整数：1=1，2=1+1，3=3=1+1+1，4=1+3，5=1+1+3，6=6=3+3，7=1+3+3，8=1+1+6，9=3+6，10=10=1+3+6，11=1+10， cdot cdot cdot高斯的这一重要结论和下面这些著名的定理紧密相关：拉格朗日四平方和定理：每一个正整数都可以表示为不超过 4 个平方数之和.费马定理：当 n geq3 时，每一个正整数都可以表示为不超过 n 个 n 角数之和.n 角数10月 1 日：高斯得到了关于有限域系数的方程的解的个数的结果，即下述问题：考虑有限域 F_{p} 上的方程 x^3+y^3=1 ，此方程只有有限个解，我们将其解的个数记为 N(x^3+y^3=1) . 那 N(x^3+y^3=1) 的值是多少呢？高斯给出了下述答案：高斯定理：设 p 为素数，则(1). 当 p equiv 1~ (mod~3)时，~~~~~~~~~N(x^3+y^3=1)=p-2+A.其中，整数 A 满足 A equiv 1~ (mod~3) ，且 4p=A^2+27B^2 .(2). 当 p equiv 2~ (mod~3)时，~~~~~~~~~~~~~~~~~N(x^3+y^3=1)=p.如当 p=61 时，显然有 4 cdot61=1^2+27 cdot3^2 ，从而~~~~~~N(x^3+y^3=1)=61-2+1=60.而当 p=67 时，显然有 4 cdot61=(-5)^2+27 cdot3^2 ，从而~~~~~~N(x^3+y^3=1)=67-2-5=60.高斯的上述结果对后世影响极大，数学家 韦依 据此提出了对于 20 世纪的代数几何造成重大影响的 韦依猜想.7. 1799 年，高斯 22 岁，他在这一年完成了博士论文，在其博士论文里高斯第一个给出了下述重要定理的证明：代数学基本定理：复系数多项式方程a_{0}x^n+a_{1}x^{n-1}+ cdot cdot cdot+a_{n-1}x+a_{n}=0必有根. 其中 n geq1 ， a_{0} ne0 .在高斯的博士论文中，他并未具体构造出多项式方程的解，而是一种纯粹的存在性证明. 高斯前后一共给出过代数学基本定理的四个证明，其中最后一个是在 1849 年给出的，是为了庆祝他获得博士学位 50 周年，此时高斯已 72 岁高龄.8. 1801 年，高斯 24 岁，在这一年高斯的数论专著《算术研究》问世， 这是一部划时代的著作. 在书中高斯对前人在数论中的一些杰出而又零散的成果予以系统地整理并加以推广，还给出了标准化的记号，把研究的问题和解决这些问题的方法进行了分类， 还引进了新的方法，这部著作奠定了近代数论的基础. 现如今的印度数学家 Bhargava 就是研究了高斯的《算术研究》后获得启发做出了一些开创性的工作，从而获得了 2014 年的 菲尔兹奖，由此可见高斯的这部著作的深刻性和重要性.这只是前期的部分事迹
二、德国一位著名的数学家，曾希望在自己的墓碑上铭刻一个正十七边形？
1. 数学家的故事:这是第一章的内容,讲述阿基米得(Archimedes, B.C. 287-212), 柏努力(Jakob Bernoulli, 1654-1705, Jakob I, Jacques I 或James 皆指同一人), 高斯(Carl Friedrich Gauss, 1777-1855)等四人的得意杰作 及其墓碑上所刻的几何图形, 由此展开许多有趣数学之讨论.值得顺便 一提的是,物理学家波茨曼(Ludwig Boltzmann,1844-1902)的墓碑上刻 的是他的著名公式: s=klogW 其中S表熵(entropy),k为波茨曼常数,W表热力系统在给定宏观状态 下所包含的微观状态数. 再作一对照:物理定律的数目偏好3,例如克 卜勒三定律,牛顿三运动定律,热力学三定律; 而数学公理偏好5,例 如欧氏几何的五公理,皮亚诺(Peano)自然数的五公理. 2. 天文历算:这是第三章的内容.从科学史的眼光来看,天文学是数学与物 理学的故乡, 是数学问题与数学发现的丰富泉源.灿烂的星空,行星的 运行,季节的变换,除了让人感受到大自然的规律, 更激起人们无穷的 想像力与敬畏之情,於是展开无止境的求知探寻活动.阿草安排这一章, 有他的偏好, 也有他的远见. 3. 几何学与三角学:这是第二,五,六,七,八章的内容,包括有平面的, 立体的与球面的情形. 这部分从取材,观点,趣味,思考方法,到美的 欣赏,都有阿草独到的领略, 可以补足目前平淡无趣的高中数学. 4. 微积分:这是第四,九章的内容.大自然利用微积分在大地上行事,但是 要掌握微积分却不容易, 微积分变成大一新生最感头痛的一门课.阿草 在第九章短短的三十五页中, 就将微积分两千馀年的发展之来龙去脉简 洁地说清楚.因此,笔者建议年轻学子,若第一次要念微积分, 不妨由 第九章切入,精读,保证可以让你愉快地,直指本心地进入微积分的堂奥. 对於人生的「第一次」要非常慎重与珍惜. 5. 科学方法论:这是第十,十二,十四章的内容. 科学方法包括统计方法 与数学的各种猜测式推理(plausible reasoning). 后者例如,归纳法,分 析与综合法,类推法,试误法,推广,特殊化(或极端化), 量纲检验, 对称性观察,局部推理,大胆假设,小心求证,想像力, 等等. 前者大致又分成三个层次: 一,搜集资料,二,整理,比较与分析资料, 三,抛出假说,推出结论, 解释既知且预测未知.阿草选取黑龙(Heron) 公式(其实是阿基米得首创), 哥伦布发现美洲大陆,达尔文创立演化 论,孟德尔探索遗传定律等著名例子, 来说明科学方法的运用.这些都 是数学史,科学史与科学哲学研究的绝佳题材. 笔者特别喜欢第十二章, 关於黑龙公式的探索过程,从发现与证明, 到欣赏与方法论都齐备,讲 得实在太精彩了. 6. 混沌与碎形:这是第十一章的内容,是近年来新兴的一门学问,跟电脑的 关系密切. 为了赶上时代,阿草好学不倦,投入时间研读,再利用通俗 的话语介绍给读者. 7. 数学教育与解题:这是第十二,十三,十四章的内容. 解题训练是数学 教育的核心工作.哲学家叔本华说: 当一个人被某个问题所困,问题逐渐占据整个身心,如果他能够找到一 条解决的出路, 那麼他就成为一个哲学家.此地叔本华所说的问题是指 哲学上的大问题. 事实上,我们把「问题」改为「数学问题」,「哲学 家」改为「数学家」, 也行得通.准此以观,数学教育最要紧的是让学 生得到独立的解题经验, 从中锻鍊思想力与毅力.阿草举了许多例子, 实地作解题的「讲道说法」, 读者可先模仿,然后再找出最适合自己的 一条道路. 只有当一个人尝过独立解题的乐趣后,他才会喜欢数学,并 且终身难忘, 导致持久的追寻. 数学有趣吗 问十个中学生有九个半会跟你说不.除去对所有东西都不屑一 顾的人不谈,剩下来的多数学子应该还是可以成为挣取支持的对象.起码把那些 会掏$$买「混沌」的人加起来,也比纯粹本格派的人来得多.阿草牌葫芦膏药 所要卖的对象就是这些边缘份子.阿草从文化面,历史面出发,随著数学历史的 演进,由欧氏几何,历法计算到微积分,机率统计乃至於混沌碎形,最后万流归 宗,探讨数学工具使用的基本原则.其内容完全不脱高中程度的数学知识,然而 研读此书的感觉却又与课本,参考书大相迳庭.没有人会认为算课本参考书内的 众多例题类题会很有趣,但为什麼它们会无趣 因为它们把数学与人之间的链结 打断了,所以失去了人味,自然「人」就不会对这些内容感兴趣.这个链结,阿 草不但帮我们找回来,还将两者更紧密地结合在一起,使读者感到研读的主体不 只是数学,而是人类文明整体发展的另一种面向. 欧基里德说:「学几何学无帝王之路.」研究数学绝对不能用「看」的,也不 能用「读」的,要自己亲身推导计算过才算数.加上阿草在书中对於各个问题的 解法推衍大多只有一笔带过,并无详细流程;几何问题顶多秀张图,说明能力亦 极有限.因此,阿草可能会说:「学数学无天堂之路.」我相信阿草如此编写的 目的是要读者自行思索,亲自踩著先人的足迹前进,如此才能享受研究数学的乐 趣,才能真正吸收这些知识.本书最佳的适用对象正是求学中的青少年.让他们 在尚未完全对数理学科失去信心和兴趣之前,利用阿草的特效药来矫治最为有 效.对一般读者而言,「阿草的葫芦」也算得上是一本内涵与实用兼具的科普书 籍.最起码我们已经有了不同的选择.我们教科书的编纂方式若能像本书一样, 那些徘徊在数理殿堂门口的边缘人必定会迈开脚步,跨越门槛,一窥科学的奥 妙.阿草的葫芦里别有一番洞天,但这种乐趣得要自己亲身体验,别人是没办法 替你感受的.
三、高斯与正十七边形的故事
1796年的一天,德国哥廷根大学,一个很有数学天赋的19岁青年吃完晚饭,开始做导师单独布置给他的每天例行的三道数学题.前两道题在两个小时内就顺利完成了.第三道题写在另一张小纸条上：要求只用贺规和一把没有刻度的直尺,画出一个正17边形.他感到非常吃力.时间一分一秒的过去了,第三道题竟毫无进展.这位青年绞尽脑汁,但他发现,自己学过的所有数学知识似乎对解开这道题都没有任何帮助.困难反而激起了他的斗志：我一定要把它做出来!他拿起圆规和直尺,他一边思索一边在纸上画着,尝试着用一些超常规的思路去寻求答案.当窗口露出曙光时,青年长舒了一口气,他终于完成了这道难题.见到导师时,青年有些内疚和自责.他对导师说：“您给我布置的第三道题,我竟然做了整整一个通宵,我辜负了您对我的栽培……” 导师接过学生的作业一看,当即惊呆了.他用颤抖的声音对青年说：“这是你自己做出来的吗?”青年有些疑惑地看着导师,回答道：“是我做的.但是,我花了整整一个通宵.” 导师请他坐下,取出圆规和直尺,在书桌上铺开纸,让他当着自己的面再做出一个正17边形.青年很快做出了一上正17边形.导师激动地对他说：“你知不知道?你解开了一桩有两千多年历史的数学悬案!阿基米德没有解决,牛顿也没有解决,你竟然一个晚上就解出来了.你是一个真正的天才!” 原来,导师也一直想解开这道难题.那天,他是因为失误,才将写有这道题目的纸条交给了学生.每当这位青年回忆起这一幕时,总是说：“如果有人告诉我,这是一道有两千多年历史的数学难题,我可能永远也没有信心将它解出来.” 这位青年就是数学王子高斯.高斯用代数的方法解决的,他也视此为生平得意之作,还交待要把正十七边形刻在他的墓碑上,但后来他的墓碑上并没有刻上十七边形,而是十七角星,因为负责刻碑的雕刻家认为,正十七边形和圆太像了,大家一定分辨不出来.关于正十七边形的画法（高斯的思路,本人并非有意剽窃^_^）：有一个定理在这里要用到的：若长为|a|,|b|的线段可以用几何方法做出来,那么长为|c|的线段也能用几何方法做出的,其中c是方程x^2+ax+b=0的实根.上面的定理实际上就是在有线段长度|a|和|b|的时候,做出长为sqrt(a^2-4b)的线段.（这一步,大家会画吧?） 而要在一个单位圆中做出正十七边形,主要就是做出长度是cos(2pai/17)的线段.下面我把当年高斯证明可以做出cos(2pai/17)的证明给出,同时也就给出了具体的做法.设a=2[cos(2pai/17)+cos(4pai/17)+cos(8pai/17)+cos(16pai/17)] 0 a1=2[cos(6pai/17)+cos(10pai/17)+cos(12pai/17)+cos(14pai/17)]0 b1=2[cos(4pai/17)+cos(16pai/17)]0 c1=2[cos(12pai/17)+cos(14pai/17)]
四、德国一位著名的数学家，曾希望在自己的墓碑上铭刻一个正十七边形？
高斯用代数的方法解决二千多年来的几何难题,他也视此为生平得意之作,还交待要把正十七边形刻在他的墓碑上,但后来他的墓碑上并没有刻上十七边形,而是十七角星,因为负责刻碑的雕刻家认为,正十七边形和圆太像了,大家一定分辨不出来
以上就是小编对于高斯墓碑上的几何图案问题和相关问题的解答了，高斯墓碑上的几何图案的问题希望对你有用！